$\sin \theta = \frac{5}{13}$ এবং  $\mathrm{\pi }<\mathrm{\theta }<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ হলে, $\cos \theta$ = কত?

প্রদত্ত সমস্যাটি হলো:

\[
\sin \theta = \frac{5}{13}, \quad \pi < \theta < \frac{3\pi}{2}
\]

এবং \( \cos \theta \)-এর মান বের করতে হবে।

---

### ধাপ ১: কোণের চতুর্থাংশ নির্ণয়
যেহেতু \( \pi < \theta < \frac{3\pi}{2} \), তাই \( \theta \) তৃতীয় চতুর্থাংশে অবস্থিত। তৃতীয় চতুর্থাংশে:
- \( \sin \theta \) ধনাত্মক।
- \( \cos \theta \) নেতিবাচক।

---

### ধাপ ২: ত্রিকোণমিতিক পরিচিতি ব্যবহার
আমরা জানি:

\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]

এখানে \( \sin \theta = \frac{5}{13} \), সুতরাং:

\[
\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1
\]

\[
\frac{25}{169} + \cos^2 \theta = 1
\]

\[
\cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{169}
\]

\[
\cos^2 \theta = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
\]

---

### ধাপ ৩: \( \cos \theta \)-এর মান নির্ণয়
\( \cos^2 \theta = \frac{144}{169} \) থেকে:

\[
\cos \theta = \pm \frac{12}{13}
\]

তৃতীয় চতুর্থাংশে \( \cos \theta \) নেতিবাচক, তাই:

\[
\cos \theta = -\frac{12}{13}
\]

---

### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\cos \theta = -\frac{12}{13}
\]